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Guilhem MOLLON
guilhem.mollon@gmail.com

Maître de Conférences
Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Docteur en Génie Civil de l'INSA Lyon
Ingénieur INSA, Normalien, Agrégé de Génie Civil

Méthodes probabilistes en Variables Aléatoires

La propagation de l’incertitude au travers d’un modèle déterministe est un problème clé lorsque l’on souhaite déterminer la probabilité de défaillance d’un système. Si de nombreuses méthodes existent pour décrire la distribution de probabilité d’une variable de sortie à partir des paramètres probabilistes des variables d’entrée, ces méthodes nécessitent généralement un nombre très important d’appels au modèle déterministe. C’est le cas par exemple de la méthode de Monte-Carlo, qui fournit un estimateur sans biais de la probabilité de défaillance pf, mais nécessite un nombre d’appels au modèle supérieur à 10/pf pour une estimation correcte. Pour les ordres de grandeur des probabilités de défaillance intéressant l’ingénieur, un tel nombre d’appels au modèle déterministe est inabordable dès que le modèle présente un temps de calcul non négligeable. Plusieurs méthodes probabilistes permettent de s’en affranchir.

La méthode de la surface de réponse (RSM) repose sur une approximation quadratique de la surface d’état limite et consiste à déterminer par itérations successives la position du point de conception, défini comme le point de défaillance le plus probable. Lorsque ce point est connu, l’approximation FORM permet d’obtenir directement la probabilité de défaillance. La RSM présente néanmoins quelques inconvénients, notamment le fait qu’elle est capable de fournir une probabilité de défaillance pour un critère fixé a priori, mais qu’elle ne fournit aucune indication sur la distribution de probabilité de la variable de sortie du modèle.

La méthode de la surface de réponse stochastique par collocation (CSRSM) a été introduite dans le but de pallier aux défauts de la RSM. La CSRSM se propose également de fournir une approximation analytique du modèle déterministe, mais cette approximation est nettement plus complexe, et présente l’avantage d’être valable sur un domaine important de l’espace des variables d’entrée (et non au seul voisinage du point de conception, comme le propose la RSM). Lorsque cette approximation analytique a été correctement calée à partir d’un nombre relativement réduit d’appels au modèle déterministe, on dispose d’un méta-modèle au coût de calcul négligeable qui peut avantageusement se substituer au modèle déterministe d’origine dans toute méthode probabiliste.

Fig1

Figure 1. Principe des méthodes fiabilistes : les ellipses (partie "probabiliste") représentent les lieux d'égale probabilité d'occurence des variables aléatoires, et la courbe d'état limite (partie "déterministe") représente la séparation entre les domaines de sécurité et de ruine. Le point de conception est le point de ruine le plus probable.

Fig3

Figure 3. Plans d'expérience utilisés dans le cadre de la CSRSM. Au lieu d'effectuer plusieurs milliers de tirages de type Monte-Carlo, les calculs sont répartis intelligemment dans l'espace des variables d'entrée. On en tire ensuite une approximation analytique qui peut être substituée au modèle originel à un coût de calcul quasi-nul.

Fig5

Figure 5. Exemples de résultats obtenues par CSRSM, dans le cadre de l'étude de stabilité d'un front de taille pressurisé (Mollon et al. 2011) : influence de la dispersion de l'angle de frottement et de la cohésion sur la distribution statistique de la pression limite d'effondrement et sur la probabilité de défaillance.

Fig2

Figure 2. Méthode de la surface de réponse dans le cas de trois variables aléatoires. Les ellipses deviennent des ellipsoïdes, et la surface d'état limite est approximée par une formule quadratique.

Fig4

Figure 4. Comparaison entre le modèle d'origine et son approximation dans le cadre de la CSRSM, pour différents ordres de la méthode. A l'ordre 2 l'approximation n'est valable qu'en zone centrale (zone de probabilité élevée), tandis qu'à l'ordre 5 elle est satisfaisante dans tout le domaine.




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